ASCE 7-22 und P-Delta-Effekte
ASCE 7-22 [1], Abschn. 12.9.1.6 verweist weiter auf Abschnitt 12.8.7 [1], in dem festgehalten ist, dass P-Delta nicht berücksichtigt werden muss, wenn der Stabilitätskoeffizient (θ), der durch die folgende Gleichung bestimmt wird, kleiner gleich 0,10 ist.
Dabei ist
Px = gesamte vertikale Bemessungslast in und oberhalb Stockwerk x gemäß Abschn. 12.8.6.1 [1] (alle Lastfaktoren kleiner gleich 1,0)
Vx/Δse = Geschosssteifigkeit im Stockwerk x, berechnet als seismischer Bemessungsschub Vx, geteilt durch die entsprechende elastische Geschossverschiebung Δse
hsx = Geschosshöhe unter dem betrachteten Geschoss x
Die Norm schreibt weiterhin vor, dass θ den in der folgenden Gleichung angegebenen kleineren Wert von θmax nicht überschreiten sollte, da die Struktur möglicherweise unsicher ist und neu bemessen werden sollte.
Dabei ist
Cd = Verformungsverstärkungsfaktor aus Tabelle 12.2-1
β = Verhältnis der Schubanforderung zur Bemessungsschubtragfähigkeit für das Geschoss zwischen den Ebenen x und x-1 (konservativ angenommen als 1,0, aber nicht weniger als 1,25/Ω0)
Wenn 0,10 < θ ≤ θmax, sollten die für Verschiebungen und Stabkräfte zulässigen Werte mit dem Faktor 1,0/(1-θ) multipliziert werden. Alternativ können P-Delta-Effekte in eine automatisierte Analyse einbezogen werden, wobei die θmax-Beschränkungen weiterhin gelten.
NBC 2020 und P-Delta-Effekte
In Satz 4.1.8.3.8.c von NBC 2020 [2] wird nur eine kurze Anforderung an die Berücksichtigung von Schwingungseffekten aufgrund der Wechselwirkung von Gewichtskräften mit der verformten Struktur genannt. Der Kommentar zu NBC 2015 [3] enthält jedoch ähnliche Erklärungen wie die Norm ASCE 7, wonach der Stabilitätsfaktor (θx) im Stockwerk x mit der unten angegebenen Gleichung berechnet werden sollte.
Dabei ist
Ro = Kraftmodifikationsbeiwert aufgrund Überfestigkeit
Δmx = maximale inelastische gegenseitige Stockwerksdurchbiegung
hs = Zwischengeschosshöhe
Wenn θx kleiner als 0,10 ist, können P-Delta-Effekte ignoriert werden. Wenn θx größer als 0,40 ist, sollte die Struktur neu bemessen werden, da sie bei extremen Erdbeben als unsicher gilt. Für 0,10 ≤ θx ≤ 0,40 können die durch Erdbeben verursachten Kräfte und Momente mit einem Vergrößerungsfaktor von (1+θx) multipliziert werden, um P-Delta zu berücksichtigen. Dieser Vergrößerungsfaktor muss nicht auf Verschiebungen angewendet werden.
Ungefähre Berücksichtigung von P-Delta-Effekten mit Vergrößerungsfaktoren
Der Wert des Stabilitätsfaktors sollte in beiden orthogonalen horizontalen Richtungen berechnet werden, um zu bestimmen, ob P-Delta ein Problem darstellt. Die erforderliche Geschossverschiebung Δ, die zur Berechnung des Stabilitätskoeffizienten sowohl in ASCE 7-22 als auch NBC 2020 erforderlich ist, wird jetzt in RFEM 6 mit dem Add-On Gebäudebemessung automatisch angegeben. Für jede Geschossebene wird die relevante Geschossverschiebung wie in Bild 1 gezeigt tabellarisch ausgegeben.
Wenn für eine oder beide Richtungen der Einfluss der Theorie II. Ordnung in den angegebenen Bereichen berücksichtigt werden muss, kann der Faktor 1,0/(1-θ) aus der Norm ASCE 7-22 oder (1+θx) aus der Norm NBC 2020 in RFEM 6 und dem Add-On Antwortspektrenverfahren leicht berücksichtigt werden. Alle resultierenden Kräfte und/oder Durchbiegungen werden um den eingestellten Wert verstärkt.
Genauere Berücksichtigung von P-Delta-Effekten mit der geometrischen Steifigkeitsmatrix
Obwohl Nebeneffekte mit den oben genannten Verstärkungsfaktoren geschätzt werden können, ist dies ein konservativerer Ansatz. Für Szenarien, in denen große Geschossverschiebungen auftreten oder P-Delta-Effekte genauer berechnet werden müssen, kann der Einfluss von Normalkräften im Add-On Antwortspektrenverfahren aktiviert werden.
Wenn eine dynamische Analyse durchgeführt wird, sind die typischen nichtlinearen iterativen Berechnungen für Einflüsse aus Theorie II. Ordnung bei Berücksichtigung einer statischen Analyse nicht mehr anwendbar. Das Problem muss linearisiert werden, indem die geometrische Steifigkeitsmatrix während der Berechnung aktiviert wird. Bei diesem Ansatz wird davon ausgegangen, dass sich vertikale Lasten aufgrund horizontaler Effekte nicht ändern und dass die Verformungen im Vergleich zu den Gesamtabmessungen der Struktur gering sind [2].
Das Konzept hinter der geometrischen Steifigkeitsmatrix ist der Spannungsversteifungseffekt. Axiale Zugkräfte führen zu einer erhöhten Biegesteifigkeit eines Stabes, während axiale Druckkräfte zu einer verringerten Biegesteifigkeit führen. Dies kann am Beispiel eines Seils oder eines schlanken Stabes leicht demonstriert werden. Wenn der Stab einer Zugkraft ausgesetzt ist, ist die Biegesteifigkeit signifikant größer als wenn der Stab einer Druckkraft ausgesetzt ist. Bei Druck weist der Stab eine sehr geringe oder gar keine Biegesteifigkeit auf, um einer aufgebrachten seitlichen Belastung standzuhalten.
Die geometrische Steifigkeitsmatrix K'''g''' kann aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet werden.
Zur Vereinfachung werden nur die Freiheitsgrade der horizontalen Verschiebungen dargestellt. Die gezeigte Herleitung beruht dem Ansatz des Versatzmomentes auf Basis eines linearen Verschiebungsansatzes. Dies ist für das Biegeelement eine Vereinfachung, beim Fachwerkelement eine exakte Annahme. Es gilt zu beachten, dass die Matrix nur von der Länge des Elements und der Normalkraft abhängt.
Eine genauere Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix für Biegebalken kann unter Verwendung eines kubischen Verschiebungsansatzes oder mit Hilfe der analytischen Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie erfolgen. Genauere Informationen und Herleitungen werden von Werkle [4] bereitgestellt.
Die geometrische Steifigkeitsmatrix Kg wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix Kmod:
Kmod = K + Kg
Im Falle von Drucknormalkräften führt dies folglich zu einer Verringerung der Steifigkeit.
Beispiel für geometrische P-Delta-Steifigkeitsänderung in RFEM 6
Die Anwendung der Steifigkeitsreduzierung unter Verwendung der geometrischen Steifigkeitsmatrix zur Berücksichtigung von Einflüssen aus Theorie II. Ordnung (P-Delta) in einer Antwortspektrenanalyse wird in RFEM 6 mit einer einfachen Auslegerstruktur durchgeführt. Der Stab hat einen W 12x26-Querschnitt und A992-Material mit Iy = 204 in4 und E = 29000 ksi. Jede der (5) Geschosshöhen beträgt 5 ft für eine Gesamthöhe von 25 ft.
Unter Vernachlässigung des Eigengewichts wird eine Eigenlast von 1,5 kip auf jeder Ebene unter LF 1 aufgebracht: Eigengewicht sowie 3 kip Nutzlast auf jeder Ebene unter LF2: Nutzlast. Die zusätzlichen Einstellungen unter LF2 sind aktiviert, um 25% der Nutzlast automatisch bei der Massenkombination zu berücksichtigen.
Die Bemessungssituation BS1: Zur automatischen Erzeugung der Massenkombination LK1 wird das effektive seismische Gewicht definiert: D + 0,25L. Nach der Massenumwandlung werden insgesamt 2250,3 lbs in jeder Ebene in X-Richtung für die weitere Erdbebenanalyse berücksichtigt.
Das Add-On Modalanalyse berechnet die Eigenformen und effektiven Modalmassen einer Struktur. Es ist möglich, einen Anfangszustand zu berücksichtigen, der eine Steifigkeitsmodifizierung basierend auf definierten Lastfällen und Lastkombinationen vornimmt. Zwei Modalanalyse-Lastfälle sind definiert. Der erste ist LF3: Modal – ohne Steifigkeitsmodifizierungen, um die Modalanalyse ohne Steifigkeitsänderungen durchzuführen.
Für LF4: Modal – mit Steifigkeitsmodifizierungen; die Option "Anfangszustand berücksichtigen" ist aktiviert. Der hier importierte Lastfall oder die Lastkombination sollte die höchsten Drucknormallasten auf dem Tragwerk berücksichtigen. Für dieses Beispiel wird die Massenkombination LK1 zur Näherung der Einflüsse aus Theorie II. Ordnung mit geometrischen Steifigkeitsänderungen verwendet.
In der folgenden Tabelle sind die berechneten Eigenfrequenzen (f) [Hz] und Eigenperioden (T) [sec] mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix Kg dargestellt.
Beim multimodalen Antwortspektrenverfahren wird auf die Eigenfrequenzen des Bauwerks zurückgegriffen, um die Beschleunigungswerte aus dem definierten Antwortspektrum zu ermitteln. Aus diesen Beschleunigungswerten werden die Antwortspektren-Schnittgrößen ermittelt. Für dieses Beispiel wird ein benutzerdefiniertes Antwortspektrum definiert, das unten dargestellt ist. Die aus dem benutzerdefinierten Antwortspektrum für jeden Eigenwert ermittelten Beschleunigungswerte Sa [ft/s2] werden in der obigen Tabelle aufgeführt.
Um die richtige Zuordnung der modifizierten Frequenzen sicherzustellen, muss bei der Definition eines Antwortspektren-Lastfalls die gewünschte Modalanalyse ausgewählt werden. Das heißt, wenn die Antwortspektrenanalyse die geometrischen Steifigkeitsänderungen berücksichtigen soll, sollte die entsprechende Modalanalyse mit den zuvor definierten Steifigkeitsänderungen herangezogen werden.
Beim Ansatz von Drucknormalkräften führt die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix zu niedrigeren Eigenfrequenzen der Struktur. Dies kann zu niedrigeren Beschleunigungswerten Sa führen, wie in diesem Beispiel zu sehen ist. Eine Änderung der Eigenfrequenzen alleine reicht zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung nicht aus. Dies kann sogar zu kleineren Ergebnissen führen, die falsch sein können. Daher ist es wichtig, bei der Berechnung der Schnittgrößen und Verformungen der Struktur auch die modifizierte Steifigkeitsmatrix zu verwenden. Bei RFEMs Antwortspektrenverfahren wird bei Auswahl automatisch die modifizierte Steifigkeit aus der Modalanalyse zur Ermittlung der Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens verwendet. Die im Antwortspektrenverfahren ermittelten Verformungen, Schnittgrößen und Lagerreaktionen, mit und ohne geometrischer Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 8 dargestellt.
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Die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix führt zu größeren Verformungen und Schnittgrößen. Die resultierenden Auflagerlasten hingegen sind etwas kleiner unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix.
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